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Proximal法锥和次微分因其作为一阶概念而体现出“二阶”变分性态在理论和应用中占居独特地位，成为变分分析中的主要内容。然而，现有Proximal次微分和法锥理论是在有内积结构的Hilbert空间上建立的，扩展Proximal次微分基本运算法则以及闭集的Proximal点在其边界中稠密的基本变分几何定理至非Hilbert空间类，被认为是变分分析中极富挑战的难题。变分分析大家Borwein在其关于变分分析的综述文章中把非Hilbert空间中闭集的Proximal点在其边界中是否稠密称为“moststrikingopenquestion”（最引人瞩目的未解问题）。

2024年，云南大学郑喜印作为唯一作者在ActaMathematicaSinica发表论文，该研究在包括希尔伯特空间和所有空间在内的光滑空间框架下建立了Proxiaml变分分析理论，创立了Proxiaml次微分描述的多元变分原理，并据此在光滑空间上建立了Proximal次微分的加法、乘法和复合等运算法则，证明光滑空间中任何闭集的Proximal法锥含有非零向量的点均在其边界中稠密。研究还证明，当时Proximal次微分的运算法则在空间上不再成立，并证明这样的空间中存在闭集在其每一点的Proximal法锥只有零向量；Hilbert空间中每个闭集的Proximal点正是其Proximal法锥含有非零向量的点，这给出了Borwein公开问题的解答。此外，2024年，郑喜印作为通讯作者与其博士生胡春海等发表在SIAMJ.Optim.上的文章建立了逐段线性多目标优化问题的一致weaksharpminima理论。