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数学奥秘令人着迷，复杂函数多变有趣，在华师有这样一门数学课，立体、生动、直观。在这里你可以尽情想象，让平面的书本知识跃然纸上。今天的华师一课就带你走进数学与统计学学院，杨翠红老师主讲的《数学 3D 教具的设计与制作》。

“晒庄稼了，谁能抵挡住你们的可可爱爱……”

打开数学与统计学学院副教授杨翠红的微信朋友圈，一张张“庄稼”照有点儿另类，却也很吸引眼球———直线、曲线、圆弧、椭圆弧重叠交织，一组组五颜六色、样式各异的 3D 模型排列整齐，繁复中透出独特的数学之美。

之所以把这些 3D 模型比成“庄稼”，是因为它们都是在杨翠红主讲的《数学 3D 教具的设计与制作》专业选修课的“土壤”中生长出来的。“不少 3D 教具是同学们自主设计的，很有创意。”谈起这些“可可爱爱”的教学成果，杨翠红并不吝啬夸奖。

从 2022 年秋季学期开设至今，《数学 3D 教具的设计与制作》刚步入第三个年头。尽管“课龄”并不长，同学们选课的积极性却挺高，也让杨翠红兴致勃勃地“边教学边摸索”。在她看来，这门“对数学专业学习和今后从教都有助益”的课程，值得花心思、下功夫。

01 超神奇！数学还可以这样学

数学小棒、几何积木、七巧板、计算架……很多人对数学教具并不陌生，也会不知不觉地将数学教具与数学启蒙关联在一起。大学课堂上也需要数学教具吗？实际上，这份需要就是杨翠红开课的初衷。

常年承担数学专业基础课程《数学分析》教学任务的杨翠红发现，在讲授“重积分”时，经常会遇到很多复杂的数学图形。不管是在黑板上画图，还是在电脑上作图，学生们都觉得理解起来比较困难。“于是，我就想把这些数学图形做成实物在课堂上展示，帮助同学们更好地理解。”

2020 年，她指导数学与统计学学院 2018 级本科生刘尧、王若珩、郑芷颖申报了《微积分 3D 教具开发》“大创”项目，几经努力，设计制作了“微积分框架型”和“微积分积木型”两种数学教具，还编写了习题讲义。

“把一些复杂的图形‘具象化’为数学教具，可以帮助同学们更直观地理解抽象的数学理论，有效解决在数学学习中直观想象能力不足、学习兴趣不高等痛点问题。”杨翠红觉得，数学教具在大学课堂教学中“大有可为”。

之后两年，她指导的“大创”项目都是围绕“数学教具”这个主题。“我们一边完善以前的教具和讲义，一边为大学数学和中学数学课程开发新的教具。”杨翠红说，经过两年积累，他们开发的数学教具受到越来越多地关注。

“一个数学教具从设计到建模再到制作，并不简单。尤其是一些比较抽象的理论或者复杂的图形，教具基本是空白。如果让更多的同学参与进来，集思广益，就能开发出更多、更有创意的教具。”

2022 年 9 月，在学校和学院的大力支持下，杨翠红面向数统学院的学生开设了《数学 3D 教具的设计与制作》课程。

02 好厉害！我也能做 3D 建模了

走进 9309 教室，21 台 3D 打印机环绕在教室四周整齐排列着。同学们会把在课堂上设计好的数学教具，在这些打印机上“让想法变成现实”。

杨翠红介绍说，这门集数学、设计、制造等多学科知识于一体的课程，最大的特色和亮点，是增材制造技术与数学理论的有机融合，着重解决的是理论和实践结合不够紧密的问题。

通过对《数学分析》中部分重难点知识点的分析，杨翠红开发了适用于本课程的 3D 建模实验，让学生们一边学习数学理论知识，一边将这些知识点用 3D 模型表示出来，并运用这些曲线和曲面进行创意 3D 设计。

选修这门课的同学分成若干小组，每个小组选定一个开发主题，通过计算、设计、建模，最终打印并组装成 3D 教具。

从概念到实物，要围绕知识点搜集很多文献，做很多计算，还得编写教具使用说明……一系列环节下来，大家不仅摸清了数学教具制作全过程，还加深了对数学知识的理解。

上了一个多月的课后，当从 3D 打印机里取出打印好的克莱因瓶时，数学与统计学学院 2023 级本科生谢雨婕对这门课的最直接的感受就是———有趣、实用。“我学会了构建正弦曲线、双螺旋等函数方程的模型，还设计了一个克莱因瓶，能够更直观地观察函数曲线的变化。”

“看着打印机工作，自己设计的教具变为现实，亲手触摸打印出来的积木块，安装上磁铁后两块能吸在一起，那种感觉非常神奇。”2021 级本科生张栌丹觉得这门课“点燃”了她的科研灵感。课程结束后，她在杨翠红的指导下，继续申报了这个主题的“大创”项目，迈出了自己的科研第一步。

培养同学们的创新思维，是杨翠红很看重的教学理念。“课上，我会给大家介绍一些比较常见的教具模型，更鼓励他们解放思想，敢于想象，进行创意设计，制作一些具有独创性的 3D 教具，在实践中体会创新的乐趣。之前的课堂上，有一个小组设计的‘维维安尼曲线生成方式系列积木型教具’就很让人眼前一亮。我鼓励他们去申请专利。”

“3D 打印的教具，在经过一定的工艺处理之后，会变得又炫又酷，像艺术品一样让人爱不释手。”杨翠红还是希望同学们明白，研发教具是为教学服务的，在设计过程中，首先应该注重的是实用性。

03 特有用！3D 教具走出大学课堂

“杨老师，我跟昆明一所重点中学签了就业意向。”2019 级本科生罗艺跟杨翠红分享着这份喜悦，更令她没有想到的是，罗艺说“会设计制作 3D 教具”对他求职很有帮助。

“其实不只罗艺，一些选修过这门课的同学也跟我说，他们在找工作的时候，会把‘能设计制作 3D 教具’作为一个‘加分项’写到简历里，然后带着他们做好的教具和编写的使用说明，去招聘会上应聘。”同学们的认可，让杨翠红对于这门课教学目标有了更多思考———为数学师范生赋能。对于师范生而言，通过学习这门课，掌握一些将抽象的数学概念‘具象化’为直观的、可视化的教具的方法，对他们今后从教应该是有帮助的。一方面，可以激发他们参与教学活动、课程开发的积极性；另一方面，他们把一些较难理解的数学概念开发成 3D 教具，激发学生兴趣，提升课堂教学效果。

作为一门“课龄”尚轻的课程，杨翠红边教学边摸索，希望能够让选修这门课的同学收获更多。“引入虚拟教具的设计方法，更好地展现比较抽象的数学理论”“组建一支教学团队，能多开几个课堂”“跟中小学或者大学多些交流，让学生们了解教具的应用场景，评估教具的使用效果”鼓励学生参加一些设计比赛，或在合适时候举办一些比赛，以赛促练”……谈起课程建设，杨翠红有着很多期待。

每个学期开课后，9309 教室时常有学生来打印自己设计的 3D 教具，只要有学生在，总能看到杨翠红的身影，要么在电脑前跟学生讨论下计算的数据，要么在 3D 打印机前看看正在打印的作品。“投入的精力确实比较多，不过，这是我感兴趣的事情。”杨翠红笑着说。

教具虽小却大有用处，样式各异，生动有趣。这堂创意十足的 3D 建模课堂，让晦涩的数学知识变成多姿多彩的实践。